સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશન

સ્ટાન્ડર્ડ વિચલન એ એક આંકડાકીય માપ છે જે ડેટા મૂલ્યોના સેટમાં ફેરફાર અથવા પ્રસરણની રકમને નિર્ધારિત કરે છે. તે દર્શાવે છે કે ડેટાસેટના અર્થ (સરેરાશ) કરતાં વ્યક્તિગત ડેટા પૉઇન્ટ કેટલા અલગ હોય છે. ઓછી સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન સૂચવે છે કે ડેટા પૉઇન્ટ અર્થની નજીક છે, જ્યારે ઉચ્ચ સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન સૂચવે છે કે ડેટા વ્યાપક રેન્જમાં ફેલાયેલ છે. સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશનનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે અસ્થિરતાના મૂલ્યાંકન, રિસ્કની આગાહી કરવા અને ડેટા વિતરણને સમજવા માટે ફાઇનાન્સ, વિજ્ઞાન અને એન્જિનિયરિંગ જેવા ક્ષેત્રોમાં કરવામાં આવે છે. તે વેરિઅન્સનો ચોરસ રૂટ છે, જે સ્પ્રેડના વધુ અર્થઘટનાના માપનને પ્રદાન કરે છે.

સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશન (એસડી) એ આંકડાઓમાં એક મૂળભૂત વિચાર છે જે ડેટાસેટના અર્થ (સરેરાશ) ની આસપાસ ડેટા પોઇન્ટના સેટને વિક્ષેપ અથવા પ્રસારને માપે છે. તે અમને એવું સમજ આપે છે કે કેટલા દૂર, સરેરાશ રીતે, વ્યક્તિગત ડેટા પૉઇન્ટ્સનો અર્થ છે, જે ડેટામાં વેરિએબિલિટીને સમજવામાં મદદ કરે છે.

1. સ્ટાન્ડર્ડ એવિએશન માટે ફોર્મ્યુલા:

વસ્તી (એટલે કે, સંપૂર્ણ ડેટાસેટ) માટે, સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશનની ગણતરી નીચેના ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

ક્યાં:

• ⁇ એ વસ્તી સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશન છે.
• N એ વસ્તીમાં ડેટા મુદ્દાઓની સંખ્યા છે.
• xi દરેક ડેટા પૉઇન્ટને દર્શાવે છે.
• ⁇ એ વસ્તીનો અર્થ (સરેરાશ) છે.
• ⁇ તમામ ડેટા પૉઇન્ટ્સ પર રકમ દર્શાવે છે.

નમૂના માટે (એટલે કે, વસ્તીનો પેટા ભાગ), આ ફોર્મ્યુલા નાની સાઇઝ માટે ગણતરીમાં થોડું ઍડજસ્ટ કરવામાં આવે છે અને ઓછી વેરિએબિલિટીને ટાળે છે:

s=

ક્યાં:

• s એ નમૂનાનું સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન છે.
• n એ નમૂનામાં ડેટા પૉઇન્ટ્સની સંખ્યા છે.
• X ⁇ એ નમૂનાનો અર્થ છે.

2. સ્ટાન્ડર્ડ એવિએશનની ગણતરી કરવાના પગલાં:

1. મઈનની ગણતરી કરો: ડેટાસેટની સરેરાશ શોધો. આ તમામ ડેટા પોઇન્ટ્સનો સારાંશ કરીને અને ડેટા પોઇન્ટ્સની કુલ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરીને કરવામાં આવે છે.

⁇ = ⁇ i^એન = 1 ^xi/એન

માનના તફાવતો શોધો: દરેક મૂલ્યના અર્થમાંથી કેટલા સમય સુધી વિચલિત થાય છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે દરેક ડેટા પૉઇન્ટનો અર્થ ઘટાડો કરો.

1. તફાવતો સ્ક્વેર કરો: સ્ટેપ 2 માં મેળવેલ દરેક તફાવતોને સ્ક્વેર કરો. આ પગલું સુનિશ્ચિત કરે છે કે નકારાત્મક અને સકારાત્મક વિચલન એકબીજાને કૅન્સલ કરતા નથી.
2. પ્રમાણિત તફાવતોનો સરેરાશ: વસ્તી માટે, એનએનએન (ડેટા પૉઇન્ટ્સની સંખ્યા) દ્વારા વિભાજિત કરીને આ સ્ક્વેર્ડ તફાવતોની સરેરાશ શોધો. નમૂના માટે, નમૂના કદ માટે એકાઉન્ટમાં N-1 દ્વારા વિભાજિત કરો અને પૂર્વગ્રહ ઘટાડો.
3. ચોરસ રૂટ લો: આખરે, પગલું 4 થી પરિણામોના ચોરસ રૂટ લો . આ સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન આપે છે.

3. ઇન્ટરપ્રિટિંગ સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશન:

• લો સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશન: એક નાના સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશનનો અર્થ એ છે કે ડેટા પોઇન્ટ્સ અર્થની નજીક છે. ડેટા મજબૂત રીતે ક્લસ્ટર કરેલ છે, જે ઓછી વેરિએબિલિટી અથવા સાતત્ય દર્શાવે છે.
• હાઈ સ્ટાન્ડર્ડ વિચલન: મોટા સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશનનો અર્થ એ છે કે ડેટા પૉઇન્ટ્સ વિવિધ મૂલ્યોની શ્રેણીમાં ફેલાયેલ છે. આ ડેટાસેટમાં ઉચ્ચ વેરિએબિલિટી અને વધુ અનિશ્ચિતતાને સૂચવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારી પાસે સમાન અર્થ સાથે બે ડેટાસેટ છે:

• ડેટાસેટ 1: [10,11,9,10,10]
• ડેટાસેટ 2: [1,20,5,16,9]

જોકે બંનેનો અર્થ (10) સમાન હોવા છતાં, ડેટાસેટ 1 માં ઘણી ઓછી વેરિએબિલિટી છે, તેથી તેનું સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન ડેટાસેટ 2 કરતાં ઓછું હશે.

4. સ્ટાન્ડર્ડ વિચલનના ઉપયોગો:

• ફાઇનાન્સ અને ઇન્વેસ્ટમેન્ટ: સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશનનો ઉપયોગ સ્ટૉક અથવા પોર્ટફોલિયો જેવી સંપત્તિની અસ્થિરતા અથવા જોખમને માપવા માટે કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન વધુ કિંમતની વધઘટને સૂચવે છે, જે વધુ જોખમ સૂચવી શકે છે.
• ગુણવત્તા નિયંત્રણ: ઉત્પાદનમાં, સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશન ઉત્પાદનની સાતત્યનું મૂલ્યાંકન કરવામાં મદદ કરે છે. ઉત્પાદનના માપનમાં એક નાની માનક વિચલન સૂચવે છે કે ઉત્પાદનો ઉચ્ચ ચોકસાઈથી ઉત્પાદિત કરવામાં આવી રહ્યા છે.
• આંકડાઓ: સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશનનો ઉપયોગ ડેટાના પ્રસારને સમજવા અને આત્મવિશ્વાસના અંતરાલ, રિગ્રેશન મોડેલ અને હાઇપોથેસિસ ટેસ્ટ જેવા અન્ય આંકડાકીય પગલાંઓની ગણતરી કરવા માટે કરવામાં આવે છે.

5. સામાન્ય વિતરણ સાથે સંબંધ:

સામાન્ય વિતરણમાં (બેલ-આકારના વક્ર), વિશે:

• ડેટાનું 68% અર્થના 1 સ્ટાન્ડર્ડ ડિવિએશનની અંદર આવે છે,
• 95% 2 સ્ટાન્ડર્ડ વિચલનમાં આવે છે, અને
• 99.7% 3 સ્ટાન્ડર્ડ વિચલનમાં આવે છે.

આને 68-95-99.7 નિયમ અથવા સહાનુભૂતિપૂર્ણ નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે ડેટા વિતરણને સમજવામાં સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન કેવી રીતે મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે.

6. ઉદાહરણ:

નીચેના ડેટાસેટને ધ્યાનમાં લો: [4,8,6,5,3]

પગલું 1: અર્થની ગણતરી કરો ( ⁇ ):

μ=4+8+6+5+3/5=5.2

પગલું 2: દરેક ડેટા પૉઇન્ટનો અર્થ ઘટાડો કરો અને પરિણામ સ્ક્વેર કરો:

(4 - 5.2) ² = 1.44 ,

(8 - 5.2) ² = 7.84 ,

(6 - 5.2) ² = 0.64 ,

(5 - 5.2) ² = 0.04 ,

(3 - 5.2) ² = 4.84

પગલું 3: સરેરાશ સ્ક્વેર્ડ તફાવતો (નમૂના સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન માટે, N-1 દ્વારા વિભાજિત કરો = 4):

1.44+7.84+0.64+0.04+4.84/4=3.20

પગલું 4: 3.20 નો સ્ક્વેર રૂટ લો:

s=√3.20≈1.79

આમ, ડેટાસેટનું સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન આશરે 1.79 છે.

તારણ:

સ્ટાન્ડર્ડ ડેવિએશન એક શક્તિશાળી આંકડાકીય ટૂલ છે જે ડેટાસેટમાં વેરિએબિલિટીની રકમને માપવામાં મદદ કરે છે. તેનો ઉપયોગ જોખમનું મૂલ્યાંકન કરવા, સુસંગતતા માપવા અને ડેટા વિતરણને સમજવા માટે વિશાળ શ્રેણીના એપ્લિકેશનોમાં કરવામાં આવે છે. મોટા ડેટાસેટની ગણતરી કરવી થોડી વધુ જટિલ હોઈ શકે છે, પરંતુ તે ડેટાના પ્રસાર વિશે મૂલ્યવાન માહિતી પ્રદાન કરે છે અને ફાઇનાન્સ, એન્જિનિયરિંગ અને સંશોધન જેવા ક્ષેત્રોમાં વ્યાપક રીતે ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે.